(一)三角形的重心

已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。

證明：根據燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質：

1.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

2.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

3.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：(Z1+Z2+Z3)/3

4重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

5.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

如果用塞瓦定理證，則極易證三條中線交于一點。

(二)相似三角形

1相似三角形對應角相等、對應邊成比例.

2相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比).

3相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.

(三)三角形全等

全等的條件

1.兩個三角形對應的兩邊及其夾角相等，兩個三角形全等，簡稱“邊角邊”或“SAS”。

2.兩個三角形對應的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角邊角”或“ASA”。

3.兩個三角形對應的兩角及其一角的對邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角角邊”或“AAS”。

4.兩個三角形對應的三條邊相等，兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS"。

5.兩個直角三角形對應的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個直角三角形全等，簡稱“直角邊、斜邊”或“HL”。

注意，證明三角形全等沒有“SSA”或“邊邊角”的方法，即兩邊與其中一邊的對角相等無法證明這兩個三角形全等，但從意義上來說，直角三角形的“HL”證明等同“SSA”。

(四)內角和

在歐幾里得的幾何體系中，三角形都是平面上的，所以三角形的內角和為180度;三角形的一個外角等于兩個不相鄰的內角的和;三角形的一個外角大于其他兩內角的任一個角。

證明：根據三角形的外角和等于內角可以證明，詳細參見《培優：走進三角形》

如何證明三角形的內角和等于180°

方法1：將三角形的三個角撕下來拼在一起，可求出內角和為180°。

方法2：在三角形任意一個頂點處做輔助線，可求出內角和為180°。

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