二次函數拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點個數

Δ= b^2;-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b^2;-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

7.特殊值的形式

①當x=1時 y=a+b+c

②當x=-1時 y=a-b+c

③當x=2時 y=4a+2b+c

④當x=-2時 y=4a-2b+c

8.定義域：R

值域：(對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，正無窮);②[t，正無窮)

奇偶性：偶函數

周期性：無

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，則拋物線開口朝上;a<0，則拋物線開口朝下;

⑶極值點：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交于兩點：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b+√Δ]/2a，0);

Δ=0，圖象與x軸交于一點：

(-b/2a，0);

Δ<0，圖象與x軸無交點;

②y=a(x-h)^2+k[頂點式]

此時，對應極值點為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

對稱軸X=(X1-X2)/2 當a>0 且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦(X1+X2)/2時Y隨X的增大而減小

此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。

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