整式

4.1整式

考點(diǎn)一：整式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式(注意前一章的代數(shù)式的分類，觀察兩者之間的關(guān)系)

注意：1.所有整式的分母中不含字母

2.所有的整式都是代數(shù)式，但并不是所有的代數(shù)式都是整式

考點(diǎn)二：?jiǎn)雾?xiàng)式

1. 像-x、-ab、2πr，都是數(shù)與字母的積，這樣的式子叫做單項(xiàng)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是單項(xiàng)式

注意：1.單項(xiàng)式的記憶方法“只含乘法，不含加減法”。

2.由于π是常數(shù)，所以1/π也是常數(shù)，是單項(xiàng)式

2.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，如：2x的系數(shù)是2、 -abc的系數(shù)是-1

3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)

考點(diǎn)三：多項(xiàng)式

1. 多項(xiàng)式：(1)幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，(2)在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。(3)在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)

注意：1.多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)

2.多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，如3a-2a+5的項(xiàng)數(shù)是三，叫做3項(xiàng)式

2.多項(xiàng)式的次數(shù)：在一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù);多項(xiàng)式經(jīng)常以它的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)來(lái)命名，稱幾次幾項(xiàng)式;如：6xy4+2x2y2-3xy-4就是五次四項(xiàng)式

4.2整式的加減法

考點(diǎn)一：同類項(xiàng)

1. 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng);如-5a和3a是同類項(xiàng)， -4和5也是同類項(xiàng)

2. 判別同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè)：(1)所含字母相同 (2)相同字母的指數(shù)也分別相同， 兩者缺一不可

3. 同類項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母的排列順序無(wú)關(guān)

考點(diǎn)二：合并同類項(xiàng)

把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變

考點(diǎn)三：整式的加減

1. 去括號(hào)法則：

(1)括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都不變;括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)里面的各項(xiàng)都要變號(hào)

(2)去括號(hào)是，括號(hào)前面的系數(shù)不是1，則要按分配律來(lái)計(jì)算，即要把括號(hào)外的系數(shù)乘以括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)

2. 添括號(hào)法則：

(1)所添括號(hào)前是“+”號(hào)，括號(hào)里面的各項(xiàng)都不變號(hào);所添括號(hào)是“-”號(hào)，括號(hào)里面各項(xiàng)都要變號(hào)

3. 整式的加減運(yùn)算，實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，如果遇到括號(hào)，就根據(jù)去括號(hào)法則，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)

注意：同類項(xiàng)和系數(shù)的大小沒(méi)有關(guān)系

4.3整式的乘除

考點(diǎn)一：冪的運(yùn)算(重點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn))

(1)同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am*an=am+n(m、n為整數(shù))

(2)冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即(am)n=amn(m、n為整數(shù))

(3)積的乘方：積的乘方，等于個(gè)因式乘方的根，即(ab)n=anbn(n為整數(shù))

注意：

(4)同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即am/an=am-n(m、n為整數(shù))

(5)零指數(shù)冪：任何不為0的數(shù)的0次冪都是等于1，即a0=1(a≠0)

(6)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：任何不等于0的數(shù)的-n(n為整數(shù))次冪，等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù)，即a-n=1/an(a≠0， n為整數(shù))

考點(diǎn)二：整式的乘法運(yùn)算

1.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式，就是把他們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。如：(-5a2b)*(-3a)=(-5)*(-3)(a2*a)*b=15a3b

2.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。如：m(a+b+c)=ma+mb+mc

注意：(1)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)時(shí)，不要漏項(xiàng)，因式中的多項(xiàng)式是幾項(xiàng)，積就是幾項(xiàng)

(2)計(jì)算時(shí)需要注意各項(xiàng)的符號(hào)

3. 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

注意：(1)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的結(jié)果任然適多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積

(2)結(jié)果中若有同類項(xiàng)，則要合并，所得結(jié)果必須為最簡(jiǎn)的形式

4.乘法公式：(非常重要，重點(diǎn)中的重點(diǎn))

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2反之也成立

平方差公式的特點(diǎn)：①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)有一項(xiàng)是相同的，另一項(xiàng)互為相反數(shù)

②右邊是兩項(xiàng)的平方差

③公式中的a和b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式

(2)完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab、(a-b)2=a2+b2-2ab

完全平方公式的特點(diǎn)：①記憶口訣;首平方，尾平方，2倍乘積在中央

②公式中的a和b可以是單項(xiàng)，也可以是多項(xiàng)

注意：(1)完全平方公式常見的變形

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)

(a+b)2-(a-b)2=4ab

考點(diǎn)三：整式的除法運(yùn)算

1. 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的一個(gè)因式，對(duì)于只在被除式中含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

如：(-12a4b3c)/3a2b=-12/3*a4-2*b3-1*c=-4a2b2c

注意：(1)運(yùn)算中的單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào)

(2)不要遺漏只在被除式中含有的字母

2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，就是把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加

如：(ma+mb+mc)/m=ma/m+mb/m+mc/m=a+b+c

考點(diǎn)四：整式的混合運(yùn)算

1. 含有整式的加減、乘除及乘方的多種運(yùn)算叫做整式的混合運(yùn)算

2. 整式的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的，去括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)

4.4因式分解

考點(diǎn)一：因式分解

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解。(這樣子有可能有的同學(xué)沒(méi)有辦法看懂，其實(shí)可以理解為：因式分解就是把相加減的式子變成相乘)

考點(diǎn)二：因式分解的方法 重點(diǎn)重點(diǎn)步驟就是按下面的順序來(lái)

1. 提公因式法：提取各項(xiàng)的公因式

2. 公式法：平方差公式和完全平方公式

3. 分組分解法：66.7%口訣，例：xy-x-y+1=(x-1)(y-1)(重點(diǎn)哦)

4. 十字相乘法：例 x2-2x-3，先把x2分成兩個(gè)x，再把3分成-3和1，然后就等于(x-3)(x+1)

因式分解的一般步驟：“一提、二套、三試、四分、五查”

注意事項(xiàng)：(重點(diǎn)重點(diǎn))

(1)分到不能分為止

(2)因式分解各項(xiàng)均只能用小括號(hào)連接

(3)因式分解每一項(xiàng)的首項(xiàng)系數(shù)為正

(4)因式分解中單項(xiàng)式寫在多項(xiàng)式之前

(5)分解結(jié)果中有同類項(xiàng)的注意合并同類項(xiàng)

若首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般要把“-”提出來(lái)，使括號(hào)內(nèi)的首項(xiàng)系數(shù)為正

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