三角形的五心,是三角形的五個(gè)特殊點(diǎn)。

三角形的三條中線交于一點(diǎn),該點(diǎn)稱為三角形的重心;

三角形的三條高交于一點(diǎn),該點(diǎn)稱為三角形的垂心;

三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),該點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心;

三角形各邊上的垂直平分線交于一點(diǎn),該點(diǎn)稱為三角形的外心,等等。

這些點(diǎn)對(duì)三角形而言,都有若干重要的性質(zhì)。

例如,內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心,外心就是三角形的外接圓的圓心。

三角形的五心，即外心、內(nèi)心、重心、垂心、旁心,是“兩考”(即中考與高考)和“兩賽"(即初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽與高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)中,經(jīng)常出現(xiàn)的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱中特別加強(qiáng)的內(nèi)容。

與三角形五心有關(guān)的幾何問題涉及知識(shí)廣,難度大,技巧性強(qiáng),方法靈活,是學(xué)生較難掌握的內(nèi)容之一。

三角形外心的概念和性質(zhì)

我們知道,經(jīng)過線段中點(diǎn)且和這條線段垂直的直線,叫做這條線段的中垂線(或者稱為垂直平分線).

例如,圖1.1中,直線MN就是線段BC的中垂線;或者說,它是△ABC的邊BC的中垂線(即直線MN經(jīng)過BC的中點(diǎn)P,而且垂直BC).

我們還知道,線段的中垂線上任何一點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.

如圖1.2中,0是線段BC的中垂線L上的點(diǎn),則OB = OC. 由此可見,只要作出△ABC的邊BC的中垂線L和邊CA的中垂線L2,那么,L和L2相交的交點(diǎn)0就是和A,B, C距離相等的點(diǎn),即有OA = OB = OC.

我們把三角形的三條高的交點(diǎn)H叫三角形的垂心,把這個(gè)定理叫三角形的垂心定理.

在證明過程中，我們的證明思路是:

先畫一個(gè)新的三角形,把△ABC的三條高轉(zhuǎn)化為這個(gè)新三角形的三條邊的中垂線,而三角形的中垂線卻是已知為共點(diǎn)的三條直線.這種證明方法也是證明三線共點(diǎn)的一種常用方法.

根據(jù)三角形的垂心定理易知如下一些基本性質(zhì):

(1)三角形的任何兩條高線的交點(diǎn), 就是三角形的垂心。

(2)三角形的兩條高線相交于點(diǎn)H ,則第三個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)H的連線垂直于第三邊.

(3)若H是△ABC的垂心,則必有AH⊥BC,BH⊥CA,CH⊥AB.也就是說,在這樣的四點(diǎn)A,B,C,H中,任何兩點(diǎn)的連線必垂直于其余兩點(diǎn)的連線.

(4)平面上的四點(diǎn)A,B,C,D中,若有一點(diǎn)是其余三點(diǎn)連線所構(gòu)成的三角形的垂心，如D是△ABC的垂心，則這四點(diǎn)中任何一點(diǎn)都必定是其余三點(diǎn)連線所成的三角形的垂心,亦即為若D為△ABC的垂心，則A為△BCD的垂心，B為△CDA的垂心,C為△DAB的垂心.我們把這樣的四點(diǎn)A,B,C, D稱為一個(gè)垂心組.

(5)若H為△ABC的垂心,則如圖1.32中有∠BHC=180°-∠1BAC,如圖1.33中有∠BHC=∠BAC.

三角形內(nèi)心定理

三角形的三條內(nèi)角平分線相交于-點(diǎn),這個(gè)交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.

我們把三角形三內(nèi)角的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心通常用大寫英文字母“I”.很明顯,任何三角形的三條內(nèi)角平分線都在三角形內(nèi).

因此,三角形的內(nèi)心位于三角形內(nèi).在圖1.82中, OABC的三條內(nèi)角平分線AD, BE, CF相交于一點(diǎn)1,且IQ = IR= IS,點(diǎn)“I”叫做三角形的內(nèi)心.

在證明三角形內(nèi)心定理的過程中,其思路與方法是證明三條直線中,其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上,這也是證明三線共點(diǎn)的一種常用方法.

根據(jù)三角形內(nèi)心定理,聯(lián)想到三角形的外心、垂心和重心,不難知道:

(1)三角形的外心、垂心、重心和內(nèi)心,一-般不在一條直線 上,更不會(huì)重合,只有當(dāng)OABC為等腰(非等邊,如AB = AC≠BC)時(shí),其外心、垂心、重心和內(nèi)心均在s ABC的底邊BC的中線(此時(shí)中線、高及頂角的平分線三線合一)上，

當(dāng)△ABC為正三角形時(shí),外心、垂心、重心和內(nèi)心重合為正三角形的中心.

反過來,這“四心”中任意兩心重合,則這個(gè)三角形為正三角形.

(2)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)所作出的這個(gè)角的平分線和對(duì)邊上的高、中線一般并不重合。

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